16:28 

Доступ к записи ограничен

Diary Spirit
Администратор
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

23:56 

олимпиада

Условия и решения задач
(районная математическая олимпиада 2017 г.) Брянская область


11 класс

1. Докажите, что n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 есть точный квадрат при любом натуральном n.
Доказательство. Преобразуем выражение: n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2. Что и требовалось доказать.

2. На встрече Незнайки и его друзей каждый (кроме Незнайки) обменялся рукопожатием со всеми остальными. Незнайка, у которого было плохое настроение, некоторым друзьям не пожал руку, а некоторым всё же пожал. Во время встречи сделано 2017 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Незнайка?
Решение. Обозначим общее количество друзей (не считая Незнайку) через n. Посчитаем, сколько всего было сделано рукопожатий. Если не учитывать те, которые сделал Незнайка, то каждый из n друзей пожал руку каждому из n − 1 своих товарищей. Получается n(n − 1) рукопожатие. Однако этот результат нужно еще разделить на 2, поскольку каждое рукопожатие оказалось посчитанным дважды. Получится n(n − 1)/2, а с учетом k рукопожатий, сделанных Незнайкой, всего окажется n(n − 1)/2 + k рукопожатие, где 0 < k < n. Итак, n(n − 1)/2 + k = 2017, где 0 < k < n. В силу этого ограничения на k имеем: n(n − 1)/2 < 2017 < n(n − 1)/2 + n, или n(n − 1)/2 < 2017 < n(n + 1)/2.
При n ≤ 63 получим: n(n + 1)/2 ≤ 63*64/2 = 2016 < 2017,
при n ≥ 65 получается n(n − 1)/2 ≥ 65*64/2 = 2080 > 2017.
Подставив n = 64, убедимся, что этот вариант удовлетворяет двойному неравенству.
Значение k определяется из уравнения n(n − 1)/2 + k = 2017: получаем k = 1.
Ответ: 1.

3. В двух коробках находятся 25 голубых и розовых кубиков. Наугад из каждой коробки достают по одному кубику. Вероятность того, что оба вынутых кубика окажутся розовыми, равна 0,54. Найдите вероятность того, что оба вынутых кубика окажутся голубыми.
Решение. Пусть общее количество кубиков в первой и второй коробках равно m1 и m2 соответственно (для определенности считаем, что m1 не больше m2), а количество розовых кубиков в этих коробках равно k1 и k2 соответственно. Тогда вероятность того, что оба вынутых кубика розовые, равна ( k1/m1)•( k2/m2).
Получаем соотношения:
( k1/m1)•( k2/m2) = 0,54 = 27/50,
m1 + m2 = 25.
Так как 27m1m2 = 50k1k2, то хотя бы одно из чисел m1, m2 делится на 5. Но сумма m1 + m2 тоже делится на 5, поэтому каждое из чисел m1, m2 делится на 5. Таким образом, имеем всего две возможности: либо m1 = 5, m2 = 20, либо m1 = 10, m2 = 15.
В случае m1 = 5, m2 = 20 получаем k1k2 = 54, где k1 не превосходит 5, а k2 не превосходит 20. Перебрав все возможные значения ki, найдем k1=3, k2=18. Тогда в первой коробке 2 голубых кубика, во второй тоже 2 голубых кубика, и вероятность вытащить два голубых кубика равна (2/5)•(2/20)=0,04.
Аналогично, в случае m1 = 10, m2 = 15 находим k1= 9, k2=9. Тогда в первой коробке 1 голубой кубик, во второй – 6 голубых кубиков, и вероятность вытащить два голубых кубика равна (1/10)•(6/15) = 0,04 (в обоих случаях ответы одинаковы).
Ответ: 0,04.

4. Решите уравнение 20[x] – 6{x} = 2017, где ([x] – целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x, {x} – дробная часть числа x: {x} = x - [x] ).
Первое решение. Из неравенства 0 {x} < 1 следует 0 6{x}  6 , 0  20[x] - 2017  6. Прибавим 2017, поделим на 20 и получим  x < или 100,85  x < 101,15 . Таким образом, x 101, {x}   = 0,5 и x  101  0,5 = 101,5.
Второе решение. Из условия следует, что число 6x должно быть целым, значит, это одно из чисел 0, 1, 2, …, 6. При этом его сумма с 2017 должна делиться на 20. Значит, 6x  3 , x = = 101.
Ответ: 101,5.

5. Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Решение. Предположим, что нет прямоугольного треугольника с вершинами одного цвета. Разделим каждую сторону правильного треугольника двумя точками на три равные части. Эти точки образуют правильный шестиугольник. Если две его противоположные вершины одного цвета, то все остальные вершины будут второго цвета, а значит, есть прямоугольный треугольник с вершинами второго цвета. Следовательно, противоположные вершины шестиугольника разноцветные. Поэтому найдутся две соседние разноцветные вершины; противоположные им вершины тоже разноцветные. Одна из этих пар разноцветных вершин лежит на стороне треугольника. Точки этой стороны, отличные от вершин шестиугольника, не могут быть ни первого, ни второго цвета. Получено противоречие. Что и требовалось доказать.

23:03 

Amicus Plato
Простыми словами
Наш бог — Лебег,
Кумир — интеграл.
Рамки жизни сузим,
Так приказал нам
Наш командор Лузин.

Гимн Лузитании

Сегодня день рождения выдающегося советского математика, создателя московской математической школы, Николая Николаевича Лузина, человека очень нелёгкой судьбы.
Боюсь, топик может оказаться для меня неподъемным — слишком много информации и слишком она эмоционально окрашена. Но что получится) Придется остановиться, в основном, на материалах Википедии, а остальное дать ссылками.

Николай Николаевич Лузин
(9 декабря 1883, Иркутск — 28 февраля 1950, Москва) — советский математик, академик АН СССР (1929); член-корреспондент (1927).

Профессор Московского университета (1917). Иностранный член Польской АН (1928), почётный член математических обществ Польши, Индии, Бельгии, Франции, Италии.

Образование
Отец Николая Николаевича (как говорил сам Лузин) был наполовину русский, наполовину бурят, мать русская.

Считается, что Н. Н. Лузин родился в Иркутске и по достижении им гимназического возраста, семья специально переехала в Томск, чтобы он мог учиться в гимназии, но в одном из своих писем в 1948 году Лузин пишет, что родился в Томске.

Отец, Николай Митрофанович, происходивший из крепостных крестьян графа Строганова, работал в торговой организации в районе городского рынка (у моста через Ушайку). Мама, Ольга Николаевна, — из забайкальских бурят. В Томске семья жила около речной пристани.

Получив начальное образование в частной школе, Николай обучался в Томской гимназии (в 1893, 1895—1901 годах), 1894 год учился в Иркутске, куда переехала семья. Поначалу обнаружил полную неспособность к математике в той форме, в которой она преподавалась (заучивание правил и действия по шаблонам). Положение спас репетитор, студент Томского политехнического института, который обнаружил и развил у Н. Н. Лузина способность к самостоятельному решению сложных задач и страсть к этому занятию.
Продолжение про образование — почитайте, очень интересно.

Научные достижения я пропускаю — о них можно почитать много где.

Педагогическая деятельность. Лузитания

изображение
Почтовая марка. Московская математическая школа. Н. Н. Лузин. Россия, 2000.

Педагогический результат Н. Н. Лузина огромный по своему масштабу — это редчайший случай в истории науки, когда выдающийся учёный воспитал более десяти выдающихся же учёных (А. Н. Колмогоров, П. С. Александров, М. А. Айзерман, А. С. Кронрод и др.), некоторые из которых создали свои собственные научные школы:
  • школа А. Н. Колмогорова дала В. И. Арнольда и И. М. Гельфанда, Е. Б. Дынкина и А. И. Мальцева, Я. Г. Синая и А. Н. Ширяева, В. А. Успенского и др.;
  • школа П. С. Александрова — Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова, А. Г. Куроша и др.;
  • школа М. А. Лаврентьева — М. В. Келдыша, А. И. Маркушевича, Б. В. Шабата и др.;
  • школа А. А. Ляпунова — А. П. Ершова, Ю. И. Журавлева, О. Б. Лупанова и др.;
  • школа П. С. Новикова — С. И. Адяна, А. Д. Тайманова, С. В. Яблонского и др.
В базе данных «Математическая генеалогия» Н. Н. Лузин имеет более 5 000 научных потомков.

читать дальше

изображение
Подробнее:
1. Лузитания. Википедия
2. Лузитания. Воспоминания М.А. Лаврентьева (эту ссылку в свое время дал sexstant — большое спасибо!)

Дело Лузина
Скопирую достаточно скупой и ничего не объясняющий текст из Википедии.
читать дальше

Ссылки
1. Дело Лузина. Википедия. Более подробно.
2. Семён Кутателадзе. Дело Лузина и команда «Лузитании» Элементы
3. Трагедия отечественной математики
4. Николай Николаевич Лузин math4school
5. Николай Николаевич Лузин на сайте моего института :)

В нашем сообществе Н.Н. Лузин прямо или косвенно упоминается в нескольких топиках.
1. Пост Alidoro с книгой Кутателадзе С. С. Наука и люди
2. Топик про М.А. Лаврентьева
3. Топик про Вацлава Серпинского

@темы: Люди, История математики

19:08 

Теория вероятностей

IWannaBeTheVeryBest
В урне 15 белых, 10 черных, 15 синих и 10 красных шаров. Вынимают два шара. Найти вероятность того, что это будут белый и красный или белый и синий шары.

Вообще найти вероятность того, что мы достали белый и красный шары я могу. Также можно посчитать вероятность того, что это будут белый и синий шары. А как мне найти вероятность того, что это будет "то или другое"? Тем более, что в первом и во втором случае есть белый шар.
Какая это тема из теории вероятностей? Потом почитаю, повторю.

@темы: Теория вероятностей

15:04 

Инсбрукская волчица. Отрывок

Horacius the hobbit
Чем суровее в стране законы, тем больше люди тоскуют по беззаконию. (С) С.Е.Лец
Мне очень хорошо запомнились весна и лето 1908 года. Даже в мрачных тюремных стенах воспоминания об этом периоде жизни доставляют мне смутную радость. Те полгода дарили мне надежду. Я ждала, что очень скоро всё наладится, мечтала о лучшем будущем. Вероятно, я была тогда по-настоящему счастлива, только боялась признаться в этом самой себе. А потом всё резко понеслось под откос…
Теперь я могу вспоминать и анализировать сколько угодно. Венская тюрьма — неплохая возможность взять передышку и привести мысли в порядок. Даже инспектор, пытавшийся выжать из меня признание, на время отстал — наверное, разбирается с тюремным начальством. Вспоминать этого угрюмого типа, одетого в чёрное с головы до пят, было неприятно. Когда он приходил на ум, я невольно дрожала и испытывала желание сбежать на край света.
Нехорошие предчувствия возникли у меня ещё двадцать третьего октября. Тогда инспектор впервые явился к нам домой. Меня одолевало искушение убежать, но я сдержалась. Поступи я так, они сразу заподозрят, что я — единственная виновница страшного убийства. Однако Дитрих пришёл к нам, уже уверенный, что именно я, Анна Зигель, шестнадцати лет от роду, совершила это злодеяние. Но, едва послышался шум в прихожей, я каким-то наитием поняла, что это полиция. Немедленно встав с кровати, где бессмысленно валялась всё утро, я быстро поправила волосы и потуже затянула поясок на домашнем платье.
— Скажите, фрау, — произнёс незнакомый мужской голос в гостиной, — могу я видеть Анну Катрин Зигель? Мне нужно с ней поговорить.
Не дожидаясь, пока меня позовут, я вышла в гостиную. Посетитель производил весьма странное впечатление. Густой бархатный голос не сочетался с его тщедушным телосложением. Ростом он был едва ли на ладонь выше меня, плечи, руки и ноги — невероятно тощие. Но его взгляд! Он смотрел на меня, не мигая, как будто хотел проникнуть внутрь моей головы и увидеть изнутри все тайные мысли. Чёрная одежда и угрюмое выражение лица придавали этому мужчине нечто демоническое.
— Доброе утро, фройляйн, — вежливо произнёс он. — Не разбудил ли я вас? Не удивлюсь, если после вчерашних событий вы половину ночи провели без сна. Иногда люди сутками не могут прийти в себя после сильных потрясений. Прошу простить за беспокойство!
— Не стоит извинений, — спокойно ответила я. — Ваша служба требует этого. Чем я могу вам помочь?
читать дальше

@темы: Проза

22:20 

НОД

wpoms.
Step by step ...


Для каждой пары $a,$ $b$ взаимно простых натуральных чисел определим $d_{a,b}$ как наибольший общий делитель $51a + b$ и $a + 51b.$ Найдите наибольшее возможное значение $d_{a,b}.$
Пояснение: $a$ и $b$ являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.



@темы: Теория чисел

записки вампира

главная